Les folles aventures d'un terrien

Dictionnaire français pour Vim

2011-12-21T22:32:00.001-05:00

Vim possède un correcteur d'orthographe. On peut l'activer avec

:set spell

puis on passe à l'erreur suivante avec ]s.

Par défaut, seuls des dictionnaires anglais sont fournis avec MacVim. Installer un dictionnaire français se fait automatiquement si on définit la variable spelllang pour le français :

:set spelllang=fr

Ensuite, il ne reste plus qu'à activer la correction automatique et à regarder MacVim se connecter à un serveur ftp pour y télécharger les fichiers nécessaires.

Information trouvée dans les archives de comp.editors sur usenet (http://newsgroups.derkeiler.com/Archive/Comp/comp.editors/2006-04/msg00241.html).

64 bits Python installation on MacOS X Snow Leopard

2010-06-13T23:52:00.003-04:00

N.B. : Pour une raison mystérieuse, j'ai rédigé cet article en anglais. Désolé pour ceux qui ne lisent pas l'anglais. J'essaierai de ne pas recommencer.

Here is how I installed Python 2.6.5 on my machine. Here is what I get at the end:

Python 2.6.5 with both 32 bits and 64 bits executables
Virtual environments with virtualenv
64 bits NumPy, SciPy and Matplotlib
A bunch of other useful packages
The power of Python

I based myself mostly on this post by Jesse Noller and this one by HyperJeff. Unfortunately, the instructions in these posts were not completely sufficient for me and I had to fiddle around a lot to get the complete setup I was looking for.

Python

Download the latest Python source code and unpack it

$ curl -O http://www.python.org/ftp/python/2.6.5/Python-2.6.5.tar.bz2

$ tar jxvf Python-2.6.5.tar.bz2

To build an installer for Snow Leopard, we need to tweak one line of the

script.

$ cd Python-2.6.5/Mac/BuildScript/

$ mvim build-installer.py

Here, I used MacVIM to edit the file. Use whatever editor you like. At

line 78, replace

SDKPATH = "/Developer/SDKs/MacOSX10.4u.sdk"

SDKPATH = "/Developer/SDKs/MacOSX10.6.sdk"

And around line 139 replace

if DEPTARGET < '10.5':

if DEPTARGET < '10.7':

Before running the script, I had to create the directory where

third-party sources would be downloaded.

$ mkdir ~/Universal/other-sources

All you have to do, is to run the script:

$ ./build-installer.py --dep-target=10.6 --universal-archs=intel

This will build an installer for 64 bits Python 2.6.5 with support for

readline. The disk image containing the installer is located in

/tmp/_py/diskimage/. Just mount the dmg file and install Python by double clicking on the pkg file.

By default, python is a symlink to the 32-bit version, and so is pythonw.

To change that, simply modify the symlinks in

/Library/Frameworks/Python.framework/Versions/2.6/bin/ as follow:

$ cd /Library/Frameworks/Python.framework/Versions/2.6/bin/

$ sudo rm python python2.6 pythonw pythonw2.6

$ sudo ln -s python2.6-64 python

$ sudo ln -s python2.6-64 python2.6

$ sudo ln -s pythonw2.6-64 pythonw

$ sudo ln -s pythonw2.6-64 pythonw2.6

Virtualenv

This nice utility allows one to have many different python environment

each of which is independent. You can then install a bunch of packages

in an environment. If you need a fresh environment, you then just create

a new virtualenv. You are free to switch from one virtualenv to another.

Start by installing easy_install and pip.

$ curl -O http://peak.telecommunity.com/dist/ez_setup.py

$ sudo python ez_setup.py

$ curl -O http://pypi.python.org/packages/source/p/pip/pip-0.7.2.tar.gz

$ tar zxvf pip-0.7.2.tar.gz

$ cd pip-0.7.2

$ sudo python setup.py install

Then, move on to install virtualenv and a wrapper script.

$ sudo pip install virtualenv

$ sudo pip install virtualenvwrapper

Create a directory for you virtual environments.

$ mkdir -p ~/local/virtualenvs

Add the following to your ~/.bash_profile.

export WORKON_HOME=$HOME/local/virtualenvs

source /Library/Frameworks/Python.framework/Versions/2.6/bin/virtualenvwrapper.sh

workon default

Source the .bash_profile file.

$ . ~/.bash_profile

Finally, just create the default virtual environment.

$ mkvirtualenv default

Numpy and SciPy

These two are by far the most annoying (but also the most useful). They depend on a few libraries which are either required or enhance efficiency a lot.

Download and install gfortran.

$ curl -O http://r.research.att.com/gfortran-4.2.3.dmg

Download and install FFTW.

$ curl -O http://www.fftw.org/fftw-3.2.2.tar.gz

$ tar zxvf fftw-3.2.2.tar.gz

$ cd fftw-3.2.2

$ ./configure CC="gcc -arch i386 -arch x86_64" CXX="g++ -arch i386 -arch x86_64" CPP="gcc -E" CXXCPP="g++ -E"

$ make

$ sudo make install

Download and install UMFPACK.

$ curl -O http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/UMFPACK-5.5.0.tar.gz

$ tar zxvf http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/UMFPACK-5.5.0.tar.gz

$ curl -O http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/UFconfig/UFconfig-3.5.0.tar.gz

$ tar zxvf http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/UFconfig/UFconfig-3.5.0.tar.gz

$ curl -O http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/amd/AMD-2.2.1.tar.gz

$ tar zxvf http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/amd/AMD-2.2.1.tar.gz

In the file UFconfig/UFconfig.mk, uncommment lines 284 through 287 and add

-DNCHOLMOD to the UMFPACK_CONFIG variable on line 154.

F77 = gfortran

CFLAGS = -O3 -fno-common -no-cpp-precomp -fexceptions

BLAS = -framework Accelerate

LAPACK = -framework Accelerate

The Makefile for UFconfig needs to be changed at line 28 in the install

target. There is a mistake on the location of the library. The line should

read

$(CP) libufconfig.a $(INSTALL_LIB)/libufconfig.$(VERSION).a

Then, build and install the various parts.

$ cd UMFPACK

$ make library

$ sudo make install

$ cd ../AMD

$ sudo make install

$ cd ../UFconfig

$ make

$ sudo make install

This will build UFMPACK, AMD and UFconfig and install the headers and

libraries in /usr/local.

Download NumPy from the SourceForge download page

http://sourceforge.net/projects/numpy/files/NumPy/1.4.1/numpy-1.4.1.tar.gz/download and then install it.

$ tar zxvf numpy-1.4.1.tar.gz

$ cd numpy-1.4.1

$ python setup.py build

$ python setup.py install

Download SciPy from the SourceForge download page

http://sourceforge.net/projects/scipy/files/scipy/0.8.0b1/scipy-0.8.0b1.tar.gz/download and then install it.

$ tar zxvf scipy-0.8.0b1.tar.gz

$ cd scipy-0.8.0b1

$ python setup.py build

$ python setup.py install

Matplotlib

Download from http://sourceforge.net/projects/matplotlib/files/matplotlib/matplotlib-0.99.3/matplotlib-0.99.3.tar.gz/download and untar.

$ tar zxvf matplotlib-0.99.3.tar.gz

$ cd matplotlib-0.99.3

The file make.osx is what is used now. However, as of this writing, using this file as is does not work. First, apply this patch

http://sourceforge.net/tracker/download.php?group_id=80706&atid=560722&file_id=369204&aid=2981126

and then change the zlib version in make.osx to 1.2.5. Then, run

$ PREFIX=~/local/virtualenvs/default make -f make.osx fetch deps mpl_build mpl_install

Other useful packages

$ pip install mercurial

$ pip install ipython

$ pip install networkx

$ pip install nose

$ pip install sphinx

$ pip install sympy

References

http://matplotlib.sourceforge.net/users/installing.html

http://blog.hyperjeff.net/?p=160

http://docs.python.org/install/index.html

http://cran.r-project.org/bin/macosx/tools/

http://mail.python.org/pipermail/pythonmac-sig/2009-May/021289.html

http://jessenoller.com/2009/03/16/so-you-want-to-use-python-on-the-mac/

Consommation d'énergie et émission de gaz à effet de serre au Canada

2010-06-07T22:39:00.004-04:00

En faisant quelques recherches sur Internet, je suis tombé sur des données relatives à la consommation d'énergie et à l'émission de GES par les foyers canadiens pour la période de 1990 à 2007. Ces données sont rendues publiques par l'Office de l'efficacité énergétique de Ressources naturelles Canada. Elles proviennent principalement de Statistique Canada.

Les données sont disponible sous la forme d'un document Excel (res_ca_1_e.xls). J'ai utilisé Python, Matplotlib et un module nommé xlrd pour visualiser les données. Python et Matplotlib n'ont probablement pas besoin de présentation. xlrd est un module qui permet d'extraire les information d'un fichier Excel à partir de Python. Une introduction à l'utilisation de xlrd est disponible sur scienceoss.com. Mon script Python est disponible ici.

Je dois avoué avoir été assez surpris du faible taux d'augmentation de la consommation d'électricité et des émissions de GES. Bien sûr, il est navrant qu'on parle d'augmentation alors que les objectifs du protocole de Kyoto étaient de réduire les émissions de GES par rapport à celles de 1990. Néanmoins, si l'on en croit ces données, la situation n'est pas si terrible au Canada.

Spinify 2.2

2010-03-01T22:05:00.002-05:00

Je viens tout juste de lancer la nouvelle version du logiciel de simulation numérique du modèle d'Ising Spinify. La version 2.2 comporte plusieurs corrections de bogues de même qu'une réécriture complète de l'interface en ligne de commande (CLI). Vous pouvez télécharger le programme sur bitbucket: spinify-2.2.tar.gz.

L'usager peut maintenant configurer tous les paramètres utilisés dans la simulation de même que dans la génération des graphes. Ces paramètres peuvent être spécifiés à la ligne de commande ou dans un fichier de configuration qui sera lu par le programme. Tous les détails sont disponibles dans la page de manuel de spinify(1).

De plus, cette version introduit de nouvelles quantités mesurables lors de la simulation. L'usager peut maintenant choisir parmi l'énergie interne par site, la magnétisation et la susceptibilité magnétique. Autant d'outils pour analyser le comportement du modèle aux abords de la température critique (de même que pour trouver cette température critique).

Enfin, j'utilise maintenant GNU Autotools pour compiler le logiciel. En théorie, Spinify devrait compiler sans problème sur n'importe quel système Unix ou Linux.

Si vous utilisez ce logiciel et que vous avez des commentaires ou que vous avez des questions à son propos, n'hésitez pas à me contacter par l'entremise de la liste d'envoi spinify-discuss@googlegroups.com.

Spinify 2.1

2010-02-15T20:56:00.003-05:00

La première version vraiment fonctionnelle du logiciel de simulation du modèle d'Ising en deux dimensions sur la sphère est maintenant disponible ici : spinify-2.1.tar.bz2. Le programme s'installe sur Mac OS X et Ubuntu 9.10 (et probablement tous les autres Unix et Linux). Pour plus de détails concernant l'installation, voir le wiki.

Spinify

2010-01-25T10:07:00.002-05:00

Il y a quelques années, j'ai travaillé sur un projet qui consistait à développer un programme de simulation du modèle d'Ising sur des surfaces ayant un tenseur métrique non trivial. Ce projet n'a jamais été complété. Or, je m'y suis récemment remis, et j'avance à bon train.

J'ai réécrit le code en C++ et j'ai implémenté un algorithme pour générer un réseau aléatoire sur la sphère. Actuellement, j'utilise Qhull pour essayer de trianguler le réseau ainsi obtenu, mais le code est mal écrit et le programme plante souvent. Je travaille régulièrement sur le projet, et si le coeur vous en dit, j'apprécierais avoir un peu d'aide. Le code source pour le programme est disponible sur bitbucket à l'adresse http://bitbucket.org/loicseguin/spinify/.

Si ce qui précède est du pur charabia, ne vous en faites pas : avant longtemps, j'écrirai un message détaillant ce qu'est le modèle d'Ising, ce que j'entends par métrique non triviale et comment le programme Spinify essaie de gérer tout cela.

Protégeons-nous avec les maths

2009-04-07T12:28:00.002-04:00

Une citation toute à l'honneur des mathématiques :

It is insufficient to protect ourselves with laws; we need to protect ourselves with mathematics.

Tirée de Applied Cryptography par Bruce Schneier.

HiR Information Report

2009-03-15T21:33:00.005-04:00

Pour les amateurs de Unix qui veulent en apprendre un peu plus sur la sécurité de leur système ou sur l'administration de systèmes, le blogue HiR Information Report est une source d'informations vraiment intéressante.

Copies de sauvegarde

2009-03-11T23:50:00.011-04:00

J'ai finalement trouvé une solution convenable pour faire des copies de sauvegarde de mes documents importants : un shell script maison assez simple qui utilise le logiciel rsync (informations sur ce site). rsync est un logiciel libre distribué sous licence GPL et disponible sur la plupart des plateformes Unix de même que sur MS Windows.

Si vous utilisez Mac OS X, rsync fait déjà partie de l'installation par défaut. Il en est probablement de même pour les distributions de Linux les plus populaires. Sur OpenBSD, vous pouvez l'installer avec la commande :

sudo pkg_add rsync

en supposant que vous avez déjà configuré sudo et que la variable d'environnement PKG_PATH est définie.

Alors voici, j'ai un Macbook qui fonctionnne sous Mac OS X et il est relié à deux disques durs externes : Hercule et Astro. Il y a plusieurs dossiers et quelques fichiers de configuration (les dotfiles) que je veux copier. Le script ressemble à ceci.
Mis à jour le 12 mars 2009:

#!/bin/sh

# This script makes a backup of important files in
# my home directory to two external hard drives,
# Hercule and Astro, using rsync.

OPTS="-avuzC --delete --exclude-from=$HOME/.rsync/excludes"
FOLDERS="Desktop Documents Music Movies Programmes Sites \
  Applescripts Pictures Jeux Library/Colorsync \
  Library/Thunderbird .rsync"
FOLDER1="Library/Application Support"
BACKUPDIR="Macbook backup"
DOTFILES="$BACKUPDIR/dotfiles"
FILES=".emacs .vimrc .profile"
VOLUMES="/Volumes/Astro /Volumes/Hercule"

for v in $VOLUMES; do
  if [ -d "$v" ]; then
  
    if [ ! -d "$v/$BACKUPDIR/Library" ]; then
      mkdir -p "$v/$BACKUPDIR/Library"
      echo "created directory" "$v/$BACKUPDIR/Library"
    fi
 
    for d in $FOLDERS "$FOLDER1"; do
      rsync $OPTS "$HOME/$d/" "$v/$BACKUPDIR/$d/"
    done

    if [ ! -d "$v/$DOTFILES" ]; then
      mkdir "$v/$DOTFILES"
      echo "created directory" "$v/$DOTFILES"
    fi

    for f in $FILES; do
      rsync $OPTS "$HOME/$f" "$v/$DOTFILES/$f"
    done

  else
    echo "ERROR:" "$v" "not mounted"
  fi
done

Et le fichier .rsync/excludes contient

.DS_Store
.depend
*.aplibrary
.localized

Tout d'abord, on définit les options pour rsync :

a : le mode archivage (c'est ce qui convient le mieux pour les copies de sauvegarde)
v : afficher les opérations effectuées à l'écran
u : update, i.e. : si un fichier sur dans la copie de sauvegarde est plus récent que celui sur le Macbook, on ne le recopie pas
z : compresser les données
C : exclure tous les fichiers normalement exclus par CVS (e.g. : *.o, *~, *.a)
--delete : si un fichier a été effacé du Macbook, l'effacer du dossier de sauvegarde
--exclude-from : précise le nom du fichier contenant la liste des exclusions

Ensuite on définit les variables qui précise les fichiers et dossiers à copier. On a une boucle pour effectuer les opérations sur les deux disques durs externes puis une autre pour effectuer les copies de tous les dossiers voulus.

Le dossier Library/Application Support a sa propre variable car j'obtiens des erreurs si je l'inclus dans la liste FOLDERS. J'ai essayé de l'inclure avec des guillemets, en échappant l'espace (Library/Application\ Support) mais rien ne fonctionnait. Si quelqu'un sait comment faire en sorte que je puisse include ce dossier dans la liste avec les autres, faites-moi le savoir.

Je mets les fichiers de configuration dans un dossier nommé dotfiles que je crée s'il n'existe pas déjà.

J'ai copié le script dans un dossier qui fait partie de mon $PATH. Voilà ! C'est fait ! Des copies de sauvegarde facile en tapant backup dans un terminal. La magie de rsync, c'est que le logiciel ne recopie que les fragments de fichiers qui ont été modifiés depuis la dernière sauvegarde. Donc le processus est très rapide en général (sauf la première fois que le script fonctionne puisqu'il doit alors copier l'ensemble des fichiers).

Prochaine étape : synchroniser mon Macbook et mon ordinateur de bureau roulant sous OpenBSD avec Unison...

Bonne fête Darwin !

2009-02-12T09:31:00.006-05:00

Il y a 200 ans, le 12 février 1809, naît un homme qui va révolutionner notre compréhension de la nature : Charles Darwin. Darwin fût un naturaliste de grand renom qui a étudié, entre autre, la botanique et l'entomologie. Mais sa plus grande contribution à la science moderne est sans conteste la théorie de l'évolution par la sélection naturelle.

Deux cents ans plus tard, l'Union Internationale des Sciences Biologiques commémore la mémoire de ce grand homme en désignant l'année 2009, année Darwin.

Malheureusement, deux siècles de science et de découvertes qui confirment cette théorie scientifique n'ont pas suffit à établir la théorie de l'évolution comme un des fondements de l'éducation scientifique. Encore aujourd'hui, des personnes de mauvaise foi qui n'ont pas compris la différence entre la science et la religion essaient de discréditer cette théorie. Le créationnisme et le dessin intelligent ne sont pas des sciences et n'ont, par conséquent, aucune aptitude pour s'opposer au Darwinisme.

Profitons donc de cette année Darwin pour rappeler au monde que la science et la religion ne jouent pas sur le même terrain, et que la théorie de l'évolution par sélection naturelle est une théorie scientifique fondée sur un très grand nombre d'observations qui ont toutes été faites dans le cadre de la démarche scientifique.

La théorie dont Darwin est le père a apporté une compréhension profonde de la biologie et de l'émergence et l'évolution des espèces. Pour cette contribution extraordinaire au savoir, je salue Darwin et lui souhaite un très bon anniversaire !

Quelques liens intéressants :

Darwin Year 2009

Darwin Day Celebration

Charles Darwin sur Wikipedia (en)

The Complete Work of Charles Darwin Online

Des axiomes mathématiques

2009-02-06T15:54:00.009-05:00

En lisant Le moine et le philosophe, je suis tombé sur cette citation de Alan B. Wallace (tirée de Science et Bouddhisme, à chacun sa réalité) :

Les axiomes mathématiques étaient considérés jusqu'à récemment comme des évidences qu'il n'était pas nécessaire de prouver. Or au siècle dernier des mathématiciens ont suggéré que les postulats d'Euclide, par exemple, ne sont ni vrais ni faux, ce sont simplement les "règles du jeu." [...] Il est maintenant devenu clair que les axiomes mathématiques sont directement ou indirectement dérivés de notre expérience, et qu'on ne peut donc dire que les mathématiques embrassent des lois d'une réalité totalement indépendante de l'expérience.

Cette citation exprime très bien l'approche mathématique moderne. Il est courant de rencontrer des gens qui pensent que les mathématiciens sont à la recherche de vérités ultimes et que leurs travaux sont totalement objectifs. Or, seul le processus mathématique est objectif, les bases sur lesquelles on construit les théorèmes, les axiomes, sont purement subjectives.

On se donne des règles de façon arbitraire, puis, en procédant selon les seules lois de la logique, on développe une théorie complexe et cohérente. Cependant, cette théorie n'est jamais plus "réelle" ou "vraie" que les axiomes qui la supportent et comme ces derniers ne sont pas plus objectifs que des dogmes religieux, on peut développer une théorie mathématique qui n'est pas plus "vraie" que ceux-ci.

Nombre de mathématiciens étudient des objets abstraits qui n'ont aucune ressemblance avec les objets que l'expérience quotidienne nous amène à rencontrer. Toutefois, la majorité des mathématiciens (dont moi-même) étudions des théories mathématiques qui reposent sur des axiomes qui ont été formulé de telle sorte qu'ils représentent le plus fidèlement possible le monde qui nous entoure.

Lorsqu'on fait des mathématiques, ce qui nous intéresse c'est le processus mental, le cheminement logique qui nous mène des axiomes aux théorèmes les plus complexes. Quiconque prétend que ces théorèmes s'appliquent au réel fait un acte de foi qui n'est pas plus valable et qui l'est tout autant que l'acte de foi que fait celui qui choisit de suivre une religion.

Optique 101 (partie 1)

2008-11-14T19:24:00.013-05:00

Pour comprendre comment fonctionne la vue et comment fonctionne un appareil photographique, on doit d'abord connaître quelques principes fondamentaux d'optique géométrique. Nous verrons la propagation de la lumière en ligne droite, la loi de Snell-Descartes et les propriétés des lentilles minces.

La lumière visible est une onde électromagnétique, c'est-à-dire un champ magnétique et un champ magnétique qui se propagent dans l'espace en oscillant. Pour bien comprendre les phénomènes impliquant la lumière, on doit utiliser les équations de l'électromagnétisme découvertes par James Clerk Maxwell au XIXe siècle et la mécanique quantique du XXe siècle. Heureusement, on peut comprendre le fonctionnement des lentilles et miroirs en faisant plusieurs simplifications qui nous permettent d'ignorer ces théories physiques complexes.

D'abord, on suppose que la lumière se déplace en ligne droite. Cette ligne droite correspond à la direction de propagation du champ électromagnétique. Pour notre analyse, il est souvent utile de considérer des rayons de lumière. Un rayon de lumière peut, par exemple, correspondre à la trajectoire d'un faisceau laser, ou à la lumière qui provient du sommet de la tour Eiffel et qui parvient à votre oeil.

Deux lois fondamentales de l'optique ont d'abord été trouvées empiriquement, puis expliquées théoriquement par les équations de Maxwell. D'abord, la loi de la réflexion, découverte environ 1000 ans après Jésus Christ par un arabe du nom d'Alhazen, stipule que lorsqu'un rayon de lumière atteint une surface, l'angle d'incidence θ_i et l'angle de réflexion θ_r (mesurés par rapport à une droite perpendiculaire à la surface, la normale) sont égaux:

θ_i = θ_r

De plus, le rayon incident, le rayon réfléchi et la normale à la surface sont dans le même plan, qu'on appelle plan d'incidence. La lumière se comporte donc comme une boule de billard qui frappe la bande : les angles d'incidence et de réflexion sont égaux, et la boule demeure sur la table.

Beaucoup plus tard, en 1621, Willebrord Snell découvre la loi de la réfraction. Cette loi, connu sous le nom de loi de Snell, a été publiée pour la première fois dans une notation mathématique moderne par René Descartes quelques années plus tard. Pour cette raison, on l'appelle parfois la loi de Snell-Descartes. Lorsque la lumière passe d'un milieu transparent à un autre (par exemple, de l'air au verre) sa vitesse change et ce changement de vitesse, jumelé avec le principe de moindre action (qui veut dire, grosso modo, que la lumière emprunte le chemin le plus court possible entre deux points), entraîne un changement de direction du rayon lumineux.

Chaque milieu transparent est caractérisé par un indice de réfraction, noté n. Cet indice est le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide et la vitesse de la lumière dans le milieu considéré. Par exemple, la lumière se propage un quart de fois moins vite dans l'eau que dans le vide ce qui donne pour l'eau :

n_eau = v_vide / v_eau

n_eau = v_vide / ((1 - 1/4)*v_vide)
n_eau = 1,33

La loi de Snell-Descartes fait le lien entre les indices de réfraction et les angles d'incidence et de réfraction. Si un rayon de lumière passe du milieu 1 au milieu 2, d'indices de réfraction n₁ et n₂ respectivement, a un angle d'incidence θ_i, alors l'angle du rayon transmis θ_t respectera la relation :

n₁ sinθ_i = n₂ sinθ_t

De plus, le rayon incident, le rayon transmis et la normale sont dans le même plan, comme pour la réflection.

Le milieu le plus réfringent est celui avec l'indice de réfraction le plus élevé. Si le rayon lumineux passe du milieu le moins réfringent au milieu le plus réfringent, il se

rapprochera de la normale. S'il passe du milieu le plus réfringent au milieu le moins réfringent, il s'éloignera de la normale.

La loi de Snell-Descartes est fondamentale pour comprendre le fonctionnement d'une partie cruciale d'un appareil photo : la lentille. Nous verrons dans le prochain article comment fonctionne une lentille.

La physique et les maths de la photo

2008-11-13T17:40:00.001-05:00

Ceci est le premier d'une série d'article sur la physique et les mathématiques de la photographie. La photographie est une activité que beaucoup de gens pratiquent sans savoir à quel point l'appareil qu'ils ont entre les mains est une petite merveille de science et d'ingénierie. Étant moi-même un scientifique, ces articles couvriront davantage la science que le génie.

J'ai en tête des articles sur les aberrations optiques (chromatique, sphérique, etc.), le nombre-f, le lien entre l'ouverture du diaphragme et la profondeur de champ, la polarisation, et la compression JPEG. Probablement qu'en cours de route j'ajouterai d'autres sujets qui me passeront par la tête. S'il y a un aspect de la photographie qui vous intéresse particulièrement, laissez-moi un commentaire et je verrai ce que je peux faire.

Les deux premiers articles seront des introductions en douceur aux concepts de base d'optique géométrique et au fonctionnement d'un appareil photographique. J'ai choisi les titres inspirés Optique 101 et Appareil Photographique 101.

L'antre de la bête

2008-09-30T18:24:00.003-04:00

Dans un élan d'exhibitionnisme, je vous montre ici mon milieu de travail. On constate la grande organisation qui règne sur mon bureau...

Et voici les instruments essentiels à la tâche du mathématicien :

Manipuler des symboles

2008-09-23T18:47:00.002-04:00

Les mathématiques sont percues par beaucoup de gens, dont plusieurs mathématiciens, comme étant un ensemble de règles qui dictent comment manipuler des symboles. En manipulant ces symboles, on arrive à formuler les "phrases" mathématiques que sont les théorèmes. Bien sûr, la plupart du temps, des significations sont données à ces symboles et les théorèmes peuvent être exprimés en langage courant.

Par exemple, "+" est universellement reconnu comme le symbole de l'addition. Cette opération, qui consiste à mettre ensemble deux "paquets" d'objets similaire, signifie quelque chose de très concret.

Or, il arrive que dans une preuve la manipulation de symboles prenne le dessus sur la signification des calculs effectués. Pour moi, la preuve perd alors toute élégance et le théorème qu'elle démontre perd de son intérêt. Un résultat qu'on ne peut expliquer en mots n'est pas un résultat qui est devenu suffisamment mature pour mériter une grande attention.

Ce qui fait la beauté de certains résultats (le théorème de Pythagore, pour citer un exemple connu), c'est le fait que leur formulation en langage courant est "facile", et que la preuve s'appuie sur des idées que l'on peut décrire avec des mots, sans avoir recours à des formules.

Les symboles et les calculs ont évidemment une utilité. Ils servent à simplifier certaines étapes du raisonnement et à obtenir des résultats précis. Néanmoins, ils ne doivent jamais prendre le dessus sur le sens de la preuve.

Les idées sont plus importantes que les calculs. Et, étrangement, il est beaucoup plus difficile de formuler des idées que d'effectuer des calculs.

Triangulations créatives

2008-09-12T11:50:00.010-04:00

On peut représenter les objets tridimensionnels par des triangles collés les uns aux autres de telle sorte qu'ils épousent les formes de l'objet. On appelle une telle construction une triangulation. Une fois qu'on a obtenu une triangulation, on peut la raffiner en divisant les triangles en triangles plus petits. Cet article présentera des méthodes de raffinement qui, lorsqu'on représente graphiquement les triangles qu'elles produisent, génèrent des dessins dont la beauté surprend.

Raffiner une triangulation

De l'animation par ordinateur au design d'aéronefs en passant par l'imagerie médicale, les applications de l'imagerie tridimensionnelle sont multiples. Les logiciels utilisés dans ces applications nécessitent une représentation d'objets tridimensionnels dans un langage compréhensible pour un ordinateur. On se heurte alors au problème de trouver un compromis entre une représentation fidèle de l'objet initial et une utilisation raisonnable des ressources matérielles de l'ordinateur : processeur, mémoire vive, espace de stockage sur disque dur, etc. Une méthode fréquemment utilisée consiste à trianguler la surface de l'objet, c'est-à-dire à recouvrir le mieux possible la surface de l'objet par des triangles, puis à raffiner cette triangulation initiale pour obtenir une meilleure représentation des courbes de cette surface. On arrête de raffiner lorsque les calculs impliqués deviennent trop exigeant pour l'ordinateur.

L'image ci-contre montre un exemple d'un objet tridimensionnel, une tête, et de trois triangulations de celle-ci. Les deux triangulations de droite sont des raffinements de celle de gauche. Les raffinements comptent beaucoup plus de triangles et semblent épouser les contours du visage beaucoup mieux.

Raffinement par division de triangles

Une idée qu'on peut exploiter pour raffiner une triangulation consiste à diviser chacun des triangles existants en plusieurs triangles. En choisissant un point à l'intérieur d'un triangle et en faisant passer des droites par ce point et par chacun des sommets, le triangle initial est divisé en six triangles plus petits. En appliquant cet algorithme simple, qui est illustré ci-dessous, à une triangu lation, on obtient un raffinement. Chaque fois qu'on répète cette division, le nombre de triangle est multiplié par six. Donc après k itérations (i.e. : répétitions), le nombre de triangles initial est multiplié par 6^k.

Il existe une infinité de choix pour le point à l'intérieur du triangle. Chacun de ces choix engendrera des triangles différents. En général, les triangles longs et étroits sont moins utiles pour représenter des courbes. On leur préfère des triangles plus semblables à un triangle équilatéral. Il faut donc à trouver un point spécifique à l'intérieur du triangle qui servira à le diviser et qui engendrera le plus possible des triangles "presque" équilatéraux.

Une représentation abstraite de tous les triangles par un triangle

Un résultat élémentaire de géométrie euclidienne dit que tous les triangles qui ont les mêmes angles sont semblables ; c'est-à-dire que si deux triangles ont les mêmes trois angles, un de ces triangles est un agrandissement de l'autre. On appelle une homothétie l'agrandissement ou le rapetissement qui permet de passer d'un triangle à l'autre. Puisque l'objectif de nos raffinement est de trouver des triangles qui sont proches d'un triangle équilatéral, on n'a pas à se soucier de la taille de ces triangles, tout ce qui compte, ce sont les trois angles.

En somme, à une homothétie près, tous les triangles sont spécifiés uniquement par leurs trois angles. La somme des angles d'un triangle est 180° et chaque angle est compris entre 0° et 180° exclusivement. Si on nomme les angles x, y et z, on aura donc :

0 < x < 180
0 < y < 180
0 < z < 180
x + y + z = 180

On peut interpréter les angles comme trois coordonnées dans l'espace cartésien en trois dimensions. Les points de l'espace cartésien qui correspondent aux quatre contraintes ci-haut forment une section de plan de forme triangulaire que nous appellerons T (voir figure ci-contre).

Ce sous ensemble de l'espace cartésien est donc une représentation abstraite de tous les triangles imaginables. Le point central de T est le triangle équilatéral. Les points proches des côtés de T sont des triangles dont au moins un angle est très petit et qui sont donc très allongés.

Histogrammes de raffinement

On peut choisir un triangle et un point donné à l'intérieur des triangles pour faire un raffinement. On raffine notre triangle initial un grand nombre de fois pour obtenir plusieurs petits triangles. Chacun de ces petits triangles peut être représenté par un point noir dans T. Selon le nombre de triangles présents dans chaque région de T, il y aura plus ou moins de points noirs et on obtiendra une région plus ou moins sombre. L'image qu'on obtient est un histogramme de densité de points.

Ci-dessous se trouvent des histogrammes obtenus à partir de différents points à l'intérieur des triangles. On retrouve, dans l'ordre, la méthode de la bissectrice, la méthode du point de Gergonne et la méthode du point de Lemoine. (Ces images ont été obtenue grâce à la courtoisie de Steve Butler.)

En plus d'avoir une certaine qualité esthétique, ces images donnent de l'information sur l'utilité des points intérieurs utilisés. On constate que pour la méthode de la bissectrice, le centre de T est assez sombre donc beaucoup de triangles presque équilatéraux sont produits ce qui est excellent.

Le point de Gergonne donne un histogramme qui ressemble à un neurone. Les points sont concentrés dans une toute petite région ce qui signifie que les triangles obtenus ont tous une forme bien particulière.

Même si le point de Lemoine est le moins utile pour faire des raffinements en raison du grand nombre de triangles étroits qu'il produit (en effet, on constate que les côtés de T sont sombres), c'est celui qui génère, à mon avis, le plus bel histogramme.

La transformation de T

À la section précédente on s'est intéressé à l'effet d'un choix de point intérieur sur un triangle donné après un grand nombre d'itération. On peut aussi examiner l'effet de ce choix sur l'ensemble de T après une itération. L'algorithme prend des triangles de T et les envoie vers d'autres triangles de T : il modifie donc complètement l'ensemble des triangles.

On peut visualiser ce qui se passe en divisant T en plusieurs régions (qu'on prend triangulaire parce qu'il est plus facile de diviser un triangle en triangles plutôt qu'en dodécagones) qu'on colore en noir et blanc. Puis, on applique l'algorithme à tous les triangles et on observe où les triangles fils obtenus se retrouvent dans T. En gardant les mêmes divisions et les mêmes colorations, on obtient une carte de la disposition des triangles fils.

Ci-dessous, dans l'ordre, T divisé en régions, la méthode du point de Gergonne, la méthode du point de Lemoine et la méthode de la médiane. (Images courtoisie de Steve Butler.)

Conclusion

Les histogrammes obtenus par le raffinement de triangulations ressemblent à des dessins au fusain. On y retrouve une symétrie évidente, des dégradés surprenant et des formes étrangement organiques. Les diagrammes des transformations de T font penser à certaines gravures d'Escher.

L'étude des raffinements avait pour but de faciliter la modélisation tridimensionnelle, et, comme sous-produit de cette étude, des images très belles sont apparues. Place à la créativité triangulaire !

Remerciements : je tiens à remercier Steve Butler pour m'avoir fourni ses images et m'avoir permis de les utiliser sur ce site. Je remercie également Ron Graham et Steve Butler pour m'avoir initié aux raffinements de triangulations lors de CCCG 2008.

Le LHC démarre !

2008-09-10T10:34:00.003-04:00

Une grande nouvelle pour les physiciens et les curieux qui s'interrogent sur la nature de l'univers. Le Large Hadron Collider (LHC, grand collisioneur de proton en français), le plus grand accélérateur de particule construit par l'homme, a été mis en route aujourd'hui. Sa mise en marche a été retardée à quelques reprises, mais finalement, nous y sommes.

Le LHC est un immense complexe dont la composante principale est un tube de 27km de circonférence dans lequel voyageront deux faisceaux de protons. Pour l'instant, un seul faisceau a été injecté dans l'accélérateur, le deuxième le sera dans quelques semaines. Ces faisceaux entreront en collision à quatre endroits prédéterminés autour du tube où des détecteurs gigantesques recueilleront des données sur les résultats des collisions. Par exemple, ATLAS, un des détecteurs, pèse 7000 tonnes, mesure 25 mètres de haut et 45 mètres de long.

L'étude de ces collisions à haute énergie (14 TeV) permettra de rechercher des preuves expérimentales de l'existence du boson de Higgs (la particule qui est sensé donner une masse à toutes les autres), de dimensions supplémentaires (qui sont requises par la théorie des supercordes, par exemple) et de la supersymétrie. De plus, LHC permettra de mieux comprendre les différences entre la matière et l'antimatière (entre autre, pourquoi y a-t-il plus de matière que d'antimatière) et peut-être même d'élucider le mystère de la matière sombre.

Le LHC est une des plus grandes réalisations technique de l'être humain. Les protons voyageront à une vitesse proche de celle de la lumière grâce à un système complexe d'aimants refroidi à des températures proche du zéro absolu (1,9K). La quantité de données générées par les quatre détecteurs atteindra 15 millions de gigaoctets qui devront être analysés, filtrés et stockés, ce qui nécessitera des ordinateurs parmi les plus puissants du monde.

Plus de détails sur

la nouvelle : Radio-Canada.ca, Cyberpresse
le LHC : CERN, the LHC rap

Le dilemme du prisonnier

2008-09-07T11:04:00.004-04:00

Le "jeu", au sens de la théorie des jeux, le plus connu est sans conteste le dilemme du prisonnier. Deux suspects sont arrêtés relativement à un crime donné. Ils sont interrogés séparément et ne peuvent communiquer d'aucune façon que ce soit. Ils connaissent tous deux les règles : lors de son interrogatoire, le suspect peut accuser l'autre suspect et bénéficier d'une peine moindre pour avoir collaboré avec la police, ou prétendre qu'ils sont tous les deux innocents. Si les deux suspects s'accusent mutuellement, ils purgeront tous les deux une peine de 9 ans. Si un des suspects accuse son collègue et l'autre affirme son innocence, le premier n'ira pas en prison et le second purgera 10 ans. Enfin, si les deux affirment leur innocence, ils purgeront tous deux 1 ans pour infraction mineure.

Quelle est la stratégie gagnante pour chaque prisonnier ? Le prisonnier 1 doit choisir entre accuser (A) et innocenter (I). Supposons que le prisonnier 2 choisisse I, alors, 1 a le choix entre purger 1 an s'il choisi I, ou rien du tout s'il choisi A. Donc sa stratégie gagnante dans ce cas est A. Si le prisonnier 2 a choisi A, 1 a le choix entre purger 10 ans s'il choisi I ou 9 ans s'il choisi A. Encore une fois, la stratégie gagnante est A.

Puisque 1 n'a aucune façon de savoir la réponse de 2, et que dans tous les cas il s'en sort avec une peine moindre s'il choisi A, c'est définitivement sa meilleure option. Le raisonnement est identique pour le prisonnier 2. Alors, il semble que le seul résultat sensé pour ce jeu soit que les deux prisonniers s'accusent mutuellement et purgent chacun 9 ans. Cette solution est appelée un point d'équilibre de Nash pour ce jeu.

Un point d'équilibre de Nash est un choix de stratégie pour chaque joueur tel que si un joueur décide de changer sa stratégie, il aura une peine plus grande. Le nom viens du mathématicien John Forbes Nash, prix Nobel d'économie 1994, dont l'histoire romancée est décrite dans le film "A beautiful mind".

Revenons au dilemme des prisonniers. L'équilibre de Nash pour ce jeu fait en sorte que chaque prisonnier purge un grand nombre d'années en prison. Il existe pourtant une solution à ce jeu qui est beaucoup plus avantageuse "socialement". Si les deux innocentent leur collègue, ils ne purgeront qu'un an chacun. La collaboration, dans ce contexte, est une bien meilleure option que l'avarice.

La complexité de l'enseignement

2008-05-14T17:30:00.001-04:00

Concernant le problème TEACH défini ci-dessous, j'ai obtenu un résultat intéressant de complexité.

Problème : TEACH

Exemple : Un groupe d'étudiants E = {e_1, ..., e_n}, un sujet S et un cours C.

Question : Est-ce qu'au moins k étudiants vont passer le cours ?

Le problème est difficile.

Proposition : Le problème TEACH est NP-difficile.

Preuve : La preuve repose sur une réduction à partir du problème de couplage en 3 dimensions (3D-MATCHING). Détails à venir.

Des inspirations transcendantales me font croire que le problème est aussi NP-complet, quoique je n'ai aucune idée de preuve pour appuyer ma conjecture. Toute contribution est la bienvenue.

Conjecture : Le problème TEACH est NP-complet.

Pourquoi les nombres entiers sont parfois essentiels ?

2008-05-11T10:50:00.001-04:00

On a tendance à sous-estimer l'utilité et la signification des nombres entiers. Dans cet article du Globe and Mail du 10 mai, on peut lire cette charmante phrase :

Nearly 800 superdelegates will attend the convention. Mr. Obama has endorsements from 275, according to the latest tally by The Associated Press. Ms. Clinton has 271.5.

Hum, j'ignore ce qu'est un demi-superdélégué. Pourquoi madame Clinton a-t-elle l'appui de 271.5 superdélégués ? D'où vient ce demi frauduleux ? On s'imagine qu'il s'agit d'une approximation statistique basée sur un modèle quelconque. Mais, dans ce contexte, l'utilisation de résultats fractionnaires n'a aucun sens.

Parfois, on peut interpréter un résultat fractionnaire comme une proportion. Or, ici, il est question d'un nombre de personnes, pas d'une proportion. Il est donc tout à fait déraisonnable de dire que madame Clinton a l'appui d'un demi-délégué.

La programmation en nombres entiers.

2008-03-21T11:39:00.002-04:00

Qu'est-ce qui fait de la programmation en nombres entiers un sujet intéressant ? Pourquoi une poignée de mathématiciens dépensent-ils quelques milliers de dollars pour se réunir et en discuter ? Sans doute en saurais-je un peu plus à mon retour de la session de travail sur la programmation en nombres entiers qui se tient dans une semaine à la Barbade.

D'ici là, voici ce que j'en sais pour vous mettre l'eau à la bouche. Tout d'abord, la programmation en nombres entiers (PNE) est une sous-catégorie de problèmes de la programmation linéaire (PL). En PL, on veut résoudre des problèmes d'optimisation du genre :

minimiser f(x)
sous les contraintes c_i (x) = 0 pour i dans E
c_i (x) <= 0 pour i dans I où E et I sont des ensembles d'indices, les c_i et f sont des fonctions linéaires. En PNE, on rajoute la contrainte que la solution doit être entière. Parfois, on parle de programmation mixte (PM) où certaines variables seulement doivent être entières. Une des applications les plus importantes de la PNE est l'utilisation d'énoncés de type "si ... alors" en PL. Par exemple, si on a un problème qui dit "si x_1 > 10, alors x_2 + x_3 < 5", on peut utiliser une nouvelle variable entière pour écrire cette implication sous forme d'une contrainte linéaire.

La PNE peut aussi servir à résoudre des types de problèmes de transport où on ne peut pas accepter des solutions fractionnaires. Par exemple, si on achemine un produit en petites quantités sur une courte période de temps.

Plus de détails à venir éventuellement !

Une citation mémorable du film Proof

2007-10-28T16:31:00.002-04:00

Avant que quiconque ne m'envoie des messages haineux, je tiens à dire que je n'ai pas aimé ce film. La performances des acteurs est mauvaise, l'histoire, peu enivrante. Certaines personnes ont comparé ce film à A Beautiful Mind, ce que je n'arrive pas à comprendre. Outre le fait que les deux films parlent de mathématiciens un peu cinglés, il n'y a rien en commun entre eux : un est un chef-d'oeuvre, l'autre est un film dont on aurait pu se passer.

Les seuls points positifs de Proof sont la présence, toujours réjouissante, de Anthony Hopkins (ou devrais-je dire Sir Anthony Hopkins) dont la performance est merveilleuse, et cette citation du mathématicien fou :

Let X equal the quantity of all quantities of X. Let X equal the cold. It is cold in December. The months of cold equal November through February. There are four months of cold, and four of heat, leaving four months of indeterminate temperature. In February it snows. In March the Lake is a lake of ice. In September the students come back and the bookstores are full. Let X equal the month of full bookstores. The number of books approaches infinity as the number of months of cold approaches four. I will never be as cold now as I will in the future. The future of cold is infinite. The future of heat is the future of cold. The bookstores are infinite and so are never full except in September...

Le problème du contrôle de groupes d'ascenseurs

2007-10-22T21:12:00.001-04:00

Ceux qui ont déjà eu à prendre un ascenseur pour se rendre sur leur lieu de travail quotidiennement savent à quel point il peut y avoir de l'achalandage pour monter dans ces machines. Aux heures de pointe, il peut y avoir des gens qui veulent monter du rez-de-chaussée à presque tous les étages et des gens déjà à des étages supérieurs qui veulent changer d'étage.

Lorsqu'il n'y a qu'un ascenseur, il est assez facile de gérer ses déplacements. Une façon de faire assez répandue est de donner la priorité au demandes faites dans la cabine (c'est-à-dire par les personnes qui sont déjà dans l'ascenseur) et de s'arrêter aux étages où une demande de service dans la même direction (monter ou descendre) a été faite. Si personne n'est dans l'ascenseur, on répond en priorité à la première demande faite.

S'il y a plusieurs ascenseurs, comme c'est le cas dans les grandes tours à bureaux, la situation est différente. On peut gérer chaque ascenseur indépendamment, mais cela est loin d'être optimal. Une personne qui veut monter fera une demande de service à chaque ascenseur et monopolisera ainsi tous les ascenseurs. Pour éviter cela, on doit contrôler le groupe d'ascenseur comme un seul et unique système. Cependant, ce système est très complexe et il est difficile à optimiser.

Entre autres difficultés, l'arrivée des demandes est aléatoire de même que les destinations. Il faut minimiser le temps de transit de chaque passager de même que le temps d'attente. On peut aussi demander à minimiser certains paramètres reliés à l'usure ou aux coûts d'opération.

Plusieurs approches algorithmiques différentes ont été prises pour aborder le problème. Une simple recherche sur Google donne de nombreux liens vers des articles qui proposent des approches évolutives, neuronales, et autres. Je vous tiendrez au courant de mes lectures...

Résolution du problème des ponts de Königsberg

2007-08-24T13:52:00.002-04:00

D'abord, on doit définir ce qu'est un graphe (en fait, ce qu'on va définir ici est appelé par certains un multigraphe). Un graphe G est simplement un ensemble de n points qu'on appelle des sommets S = {x_1, x_2, ..., x_n} reliés par des arrêtes A = {(x_i x_j, 1), (x_i x_j, 2), (x_k x_l, 1), ..., (x_n x_m, 3)}. On remarque que chaque arrête est spécifiée par deux points (les points qui forment les extrémités de l'arrête) et un entier qui identifie uniquement l'arrête dans les cas où il y a plus d'une arrête entre deux même points. En somme, pour produire un graphe, il suffit de tracer des points sur une feuille et de les relier par autant de ligne qu'on veut.

Maintenant, on peut facilement s'imaginer que le graphe constitue un ensemble de routes entre différents villages. Alors, on peut marcher le long de ces routes pour aller d'un village x_1 à un village x_11. On peut spécifier le chemin qu'on a pris en donnant la liste des routes qu'on a suivit. Par exemple on peut décrire le chemin comme étant la suite d'arrêtes (x_1 x_4, 2), (x_4 x_8, 1), (x_8 x_5, 1), (x_5 x_11, 3). Si on fait un trajet qui nous ramène au village d'où nous étions partis, on dit que ce chemin est un tour. Un tour est eulérien (oui, vous avez deviné, en l'honneur de Euler) s'il passe par toutes les arrêtes une et une seule fois.

Le problème des ponts de Königsberg peut donc être reformulé en terme d'un graphe et de la possibilité de trouver un tour eulérien sur ce graphe. Chaque lopin de terre devient un sommet de notre graphe et chaque pont devient une arrête. Des sommets sont adjacents (i.e. : ont un lien entre eux) si les lopins de terre sont reliés par un pont. On a donc un graphe constitué de quatre sommets et de sept arrêtes. Alors, est-il possible de trouver un tour eulérien sur un tel graphe ?

Le degré d'un sommet est simplement le nombre d'arrêtes qui sont attachées à ce sommet. Si un graphe admet un tour eulérien, que peut-on dire du degré de ses sommets ? Le tour eulérien passe par toutes les arrêtes donc aussi par tous les sommets. Puisque chaque arrête est utilisée une seule fois, quand le tour "arrive" à un sommet, il doit en "repartir" par une autre arrête. Donc chaque sommet a un nombre pair d'arrêtes (une pour l'arrivée et une pour le départ) et donc un degré pair.

Par conséquent, si un graphe a des sommets qui n'ont pas un degré pair, il est impossible de trouver un tour eulérien sur ce graphe. Un petit coup d'oeil à l'image de Königsberg et on trouve tout de suite des sommets de degré impair. Donc il est impossible de trouver un tour eulérien et la solution au problème des ponts de Königsberg est que c'est impossible.

Les ponts de Königsberg

2007-08-22T23:03:00.002-04:00

Maintenant que j'ai un blogue, voyons ce que je peux en faire.

Un des problèmes qui est à l'origine de la théorie des graphes est celui des ponts de Königsberg. Cette ville de Prusse (au temps où la Prusse existait) est aujourd'hui Kaliningrad en Russie. Elle est composée de quatre lopins de terre reliés par sept ponts. La question qui intriguait les gens à l'époque (on est en 1736) était de savoir s'il était possible de partir d'un des lopins de terre et de traverser chaque pont une seule fois pour revenir au même lopin. En essayant un peu, on peut se convaincre assez facilement que c'est impossible. Néanmoins, il est un peu plus compliqué de le démontrer (rigoureusement, on s'entend).

C'est ce qu'à réussi Leonhard Euler, un des plus grands mathématiciens de tous les temps. La preuve est assez simple mais nécessite quelques notions élémentaires de théorie des graphes. Maintenant que je vous ai mis l'eau à la bouche et que vous mourrez tous d'envie de connaître la preuve, je vais aller me coucher. La preuve viendra dans un futur rapproché.

Mais qu'est-ce qu'un blogue?

2007-08-20T21:52:00.002-04:00

Il semble qu'il y ait un engouement énorme pour les blogues à travers le monde. Étant moi-même un inapte technologique, je n'arrive toujours pas à bien comprendre ce qu'est un blogue. Pour tenter de me réconforter dans mon ignorance, je tente une définition.

Définition : Un blogue est une paire (U, C) constituée d'une adresse internet U et d'un ensemble de commentaires C. Ici, un commentaire c est une suite de caractères d'un alphabet A.

Ah! Voilà que je me sens mieux.