Optique 101 (partie 1)

Pour comprendre comment fonctionne la vue et comment fonctionne un appareil photographique, on doit d'abord connaître quelques principes fondamentaux d'optique géométrique. Nous verrons la propagation de la lumière en ligne droite, la loi de Snell-Descartes et les propriétés des lentilles minces.

La lumière visible est une onde électromagnétique, c'est-à-dire un champ magnétique et un champ magnétique qui se propagent dans l'espace en oscillant. Pour bien comprendre les phénomènes impliquant la lumière, on doit utiliser les équations de l'électromagnétisme découvertes par James Clerk Maxwell au XIXe siècle et la mécanique quantique du XXe siècle. Heureusement, on peut comprendre le fonctionnement des lentilles et miroirs en faisant plusieurs simplifications qui nous permettent d'ignorer ces théories physiques complexes.

D'abord, on suppose que la lumière se déplace en ligne droite. Cette ligne droite correspond à la direction de propagation du champ électromagnétique. Pour notre analyse, il est souvent utile de considérer des rayons de lumière. Un rayon de lumière peut, par exemple, correspondre à la trajectoire d'un faisceau laser, ou à la lumière qui provient du sommet de la tour Eiffel et qui parvient à votre oeil.

Deux lois fondamentales de l'optique ont d'abord été trouvées empiriquement, puis expliquées théoriquement par les équations de Maxwell. D'abord, la loi de la réflexion, découverte environ 1000 ans après Jésus Christ par un arabe du nom d'Alhazen, stipule que lorsqu'un rayon de lumière atteint une surface, l'angle d'incidence θ_i et l'angle de réflexion θ_r (mesurés par rapport à une droite perpendiculaire à la surface, la normale) sont égaux:

θ_i = θ_r

De plus, le rayon incident, le rayon réfléchi et la normale à la surface sont dans le même plan, qu'on appelle plan d'incidence. La lumière se comporte donc comme une boule de billard qui frappe la bande : les angles d'incidence et de réflexion sont égaux, et la boule demeure sur la table.

Beaucoup plus tard, en 1621, Willebrord Snell découvre la loi de la réfraction. Cette loi, connu sous le nom de loi de Snell, a été publiée pour la première fois dans une notation mathématique moderne par René Descartes quelques années plus tard. Pour cette raison, on l'appelle parfois la loi de Snell-Descartes. Lorsque la lumière passe d'un milieu transparent à un autre (par exemple, de l'air au verre) sa vitesse change et ce changement de vitesse, jumelé avec le principe de moindre action (qui veut dire, grosso modo, que la lumière emprunte le chemin le plus court possible entre deux points), entraîne un changement de direction du rayon lumineux.

Chaque milieu transparent est caractérisé par un indice de réfraction, noté n. Cet indice est le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide et la vitesse de la lumière dans le milieu considéré. Par exemple, la lumière se propage un quart de fois moins vite dans l'eau que dans le vide ce qui donne pour l'eau :

n_eau = v_vide / v_eau

n_eau = v_vide / ((1 - 1/4)*v_vide)

n_eau = 1,33

La loi de Snell-Descartes fait le lien entre les indices de réfraction et les angles d'incidence et de réfraction. Si un rayon de lumière passe du milieu 1 au milieu 2, d'indices de réfraction n₁ et n₂ respectivement, a un angle d'incidence θ_i, alors l'angle du rayon transmis θ_t respectera la relation :

n₁ sinθ_i = n₂ sinθ_t

De plus, le rayon incident, le rayon transmis et la normale sont dans le même plan, comme pour la réflection.

Le milieu le plus réfringent est celui avec l'indice de réfraction le plus élevé. Si le rayon lumineux passe du milieu le moins réfringent au milieu le plus réfringent, il se

rapprochera de la normale. S'il passe du milieu le plus réfringent au milieu le moins réfringent, il s'éloignera de la normale.

La loi de Snell-Descartes est fondamentale pour comprendre le fonctionnement d'une partie cruciale d'un appareil photo : la lentille. Nous verrons dans le prochain article comment fonctionne une lentille.

La physique et les maths de la photo

Ceci est le premier d'une série d'article sur la physique et les mathématiques de la photographie. La photographie est une activité que beaucoup de gens pratiquent sans savoir à quel point l'appareil qu'ils ont entre les mains est une petite merveille de science et d'ingénierie. Étant moi-même un scientifique, ces articles couvriront davantage la science que le génie.

J'ai en tête des articles sur les aberrations optiques (chromatique, sphérique, etc.), le nombre-f, le lien entre l'ouverture du diaphragme et la profondeur de champ, la polarisation, et la compression JPEG. Probablement qu'en cours de route j'ajouterai d'autres sujets qui me passeront par la tête. S'il y a un aspect de la photographie qui vous intéresse particulièrement, laissez-moi un commentaire et je verrai ce que je peux faire.

Les deux premiers articles seront des introductions en douceur aux concepts de base d'optique géométrique et au fonctionnement d'un appareil photographique. J'ai choisi les titres inspirés Optique 101 et Appareil Photographique 101.

L'antre de la bête

Dans un élan d'exhibitionnisme, je vous montre ici mon milieu de travail. On constate la grande organisation qui règne sur mon bureau...



Et voici les instruments essentiels à la tâche du mathématicien :

Manipuler des symboles

Les mathématiques sont percues par beaucoup de gens, dont plusieurs mathématiciens, comme étant un ensemble de règles qui dictent comment manipuler des symboles. En manipulant ces symboles, on arrive à formuler les "phrases" mathématiques que sont les théorèmes. Bien sûr, la plupart du temps, des significations sont données à ces symboles et les théorèmes peuvent être exprimés en langage courant.

Par exemple, "+" est universellement reconnu comme le symbole de l'addition. Cette opération, qui consiste à mettre ensemble deux "paquets" d'objets similaire, signifie quelque chose de très concret.

Or, il arrive que dans une preuve la manipulation de symboles prenne le dessus sur la signification des calculs effectués. Pour moi, la preuve perd alors toute élégance et le théorème qu'elle démontre perd de son intérêt. Un résultat qu'on ne peut expliquer en mots n'est pas un résultat qui est devenu suffisamment mature pour mériter une grande attention.

Ce qui fait la beauté de certains résultats (le théorème de Pythagore, pour citer un exemple connu), c'est le fait que leur formulation en langage courant est "facile", et que la preuve s'appuie sur des idées que l'on peut décrire avec des mots, sans avoir recours à des formules.

Les symboles et les calculs ont évidemment une utilité. Ils servent à simplifier certaines étapes du raisonnement et à obtenir des résultats précis. Néanmoins, ils ne doivent jamais prendre le dessus sur le sens de la preuve.

Les idées sont plus importantes que les calculs. Et, étrangement, il est beaucoup plus difficile de formuler des idées que d'effectuer des calculs.

Triangulations créatives

On peut représenter les objets tridimensionnels par des triangles collés les uns aux autres de telle sorte qu'ils épousent les formes de l'objet. On appelle une telle construction une triangulation. Une fois qu'on a obtenu une triangulation, on peut la raffiner en divisant les triangles en triangles plus petits. Cet article présentera des méthodes de raffinement qui, lorsqu'on représente graphiquement les triangles qu'elles produisent, génèrent des dessins dont la beauté surprend.

Le LHC démarre !

Une grande nouvelle pour les physiciens et les curieux qui s'interrogent sur la nature de l'univers. Le Large Hadron Collider (LHC, grand collisioneur de proton en français), le plus grand accélérateur de particule construit par l'homme, a été mis en route aujourd'hui. Sa mise en marche a été retardée à quelques reprises, mais finalement, nous y sommes.

Le LHC est un immense complexe dont la composante principale est un tube de 27km de circonférence dans lequel voyageront deux faisceaux de protons. Pour l'instant, un seul faisceau a été injecté dans l'accélérateur, le deuxième le sera dans quelques semaines. Ces faisceaux entreront en collision à quatre endroits prédéterminés autour du tube où des détecteurs gigantesques recueilleront des données sur les résultats des collisions. Par exemple, ATLAS, un des détecteurs, pèse 7000 tonnes, mesure 25 mètres de haut et 45 mètres de long.

L'étude de ces collisions à haute énergie (14 TeV) permettra de rechercher des preuves expérimentales de l'existence du boson de Higgs (la particule qui est sensé donner une masse à toutes les autres), de dimensions supplémentaires (qui sont requises par la théorie des supercordes, par exemple) et de la supersymétrie. De plus, LHC permettra de mieux comprendre les différences entre la matière et l'antimatière (entre autre, pourquoi y a-t-il plus de matière que d'antimatière) et peut-être même d'élucider le mystère de la matière sombre.

Le LHC est une des plus grandes réalisations technique de l'être humain. Les protons voyageront à une vitesse proche de celle de la lumière grâce à un système complexe d'aimants refroidi à des températures proche du zéro absolu (1,9K). La quantité de données générées par les quatre détecteurs atteindra 15 millions de gigaoctets qui devront être analysés, filtrés et stockés, ce qui nécessitera des ordinateurs parmi les plus puissants du monde.

Plus de détails sur

• la nouvelle : Radio-Canada.ca, Cyberpresse
• le LHC : CERN, the LHC rap

Le dilemme du prisonnier

Le "jeu", au sens de la théorie des jeux, le plus connu est sans conteste le dilemme du prisonnier. Deux suspects sont arrêtés relativement à un crime donné. Ils sont interrogés séparément et ne peuvent communiquer d'aucune façon que ce soit. Ils connaissent tous deux les règles : lors de son interrogatoire, le suspect peut accuser l'autre suspect et bénéficier d'une peine moindre pour avoir collaboré avec la police, ou prétendre qu'ils sont tous les deux innocents. Si les deux suspects s'accusent mutuellement, ils purgeront tous les deux une peine de 9 ans. Si un des suspects accuse son collègue et l'autre affirme son innocence, le premier n'ira pas en prison et le second purgera 10 ans. Enfin, si les deux affirment leur innocence, ils purgeront tous deux 1 ans pour infraction mineure.

Quelle est la stratégie gagnante pour chaque prisonnier ? Le prisonnier 1 doit choisir entre accuser (A) et innocenter (I). Supposons que le prisonnier 2 choisisse I, alors, 1 a le choix entre purger 1 an s'il choisi I, ou rien du tout s'il choisi A. Donc sa stratégie gagnante dans ce cas est A. Si le prisonnier 2 a choisi A, 1 a le choix entre purger 10 ans s'il choisi I ou 9 ans s'il choisi A. Encore une fois, la stratégie gagnante est A.

Puisque 1 n'a aucune façon de savoir la réponse de 2, et que dans tous les cas il s'en sort avec une peine moindre s'il choisi A, c'est définitivement sa meilleure option. Le raisonnement est identique pour le prisonnier 2. Alors, il semble que le seul résultat sensé pour ce jeu soit que les deux prisonniers s'accusent mutuellement et purgent chacun 9 ans. Cette solution est appelée un point d'équilibre de Nash pour ce jeu.

Un point d'équilibre de Nash est un choix de stratégie pour chaque joueur tel que si un joueur décide de changer sa stratégie, il aura une peine plus grande. Le nom viens du mathématicien John Forbes Nash, prix Nobel d'économie 1994, dont l'histoire romancée est décrite dans le film "A beautiful mind".

Revenons au dilemme des prisonniers. L'équilibre de Nash pour ce jeu fait en sorte que chaque prisonnier purge un grand nombre d'années en prison. Il existe pourtant une solution à ce jeu qui est beaucoup plus avantageuse "socialement". Si les deux innocentent leur collègue, ils ne purgeront qu'un an chacun. La collaboration, dans ce contexte, est une bien meilleure option que l'avarice.

La complexité de l'enseignement

Concernant le problème TEACH défini ci-dessous, j'ai obtenu un résultat intéressant de complexité.

Problème : TEACH

Exemple : Un groupe d'étudiants E = {e_1, ..., e_n}, un sujet S et un cours C.

Question : Est-ce qu'au moins k étudiants vont passer le cours ?

Le problème est difficile.

Proposition : Le problème TEACH est NP-difficile.

Preuve : La preuve repose sur une réduction à partir du problème de couplage en 3 dimensions (3D-MATCHING). Détails à venir.

Des inspirations transcendantales me font croire que le problème est aussi NP-complet, quoique je n'ai aucune idée de preuve pour appuyer ma conjecture. Toute contribution est la bienvenue.

Conjecture : Le problème TEACH est NP-complet.

Pourquoi les nombres entiers sont parfois essentiels ?

On a tendance à sous-estimer l'utilité et la signification des nombres entiers. Dans cet article du Globe and Mail du 10 mai, on peut lire cette charmante phrase :

Nearly 800 superdelegates will attend the convention. Mr. Obama has endorsements from 275, according to the latest tally by The Associated Press. Ms. Clinton has 271.5.

Hum, j'ignore ce qu'est un demi-superdélégué. Pourquoi madame Clinton a-t-elle l'appui de 271.5 superdélégués ? D'où vient ce demi frauduleux ? On s'imagine qu'il s'agit d'une approximation statistique basée sur un modèle quelconque. Mais, dans ce contexte, l'utilisation de résultats fractionnaires n'a aucun sens.

Parfois, on peut interpréter un résultat fractionnaire comme une proportion. Or, ici, il est question d'un nombre de personnes, pas d'une proportion. Il est donc tout à fait déraisonnable de dire que madame Clinton a l'appui d'un demi-délégué.

La programmation en nombres entiers.

Qu'est-ce qui fait de la programmation en nombres entiers un sujet intéressant ? Pourquoi une poignée de mathématiciens dépensent-ils quelques milliers de dollars pour se réunir et en discuter ? Sans doute en saurais-je un peu plus à mon retour de la session de travail sur la programmation en nombres entiers qui se tient dans une semaine à la Barbade.

D'ici là, voici ce que j'en sais pour vous mettre l'eau à la bouche. Tout d'abord, la programmation en nombres entiers (PNE) est une sous-catégorie de problèmes de la programmation linéaire (PL). En PL, on veut résoudre des problèmes d'optimisation du genre :

minimiser f(x)
sous les contraintes c_i (x) = 0 pour i dans E
c_i (x) <= 0 pour i dans I où E et I sont des ensembles d'indices, les c_i et f sont des fonctions linéaires. En PNE, on rajoute la contrainte que la solution doit être entière. Parfois, on parle de programmation mixte (PM) où certaines variables seulement doivent être entières. Une des applications les plus importantes de la PNE est l'utilisation d'énoncés de type "si ... alors" en PL. Par exemple, si on a un problème qui dit "si x_1 > 10, alors x_2 + x_3 < 5", on peut utiliser une nouvelle variable entière pour écrire cette implication sous forme d'une contrainte linéaire.

La PNE peut aussi servir à résoudre des types de problèmes de transport où on ne peut pas accepter des solutions fractionnaires. Par exemple, si on achemine un produit en petites quantités sur une courte période de temps.

Plus de détails à venir éventuellement !