Les mathématiques sont percues par beaucoup de gens, dont plusieurs mathématiciens, comme étant un ensemble de règles qui dictent comment manipuler des symboles. En manipulant ces symboles, on arrive à formuler les "phrases" mathématiques que sont les théorèmes. Bien sûr, la plupart du temps, des significations sont données à ces symboles et les théorèmes peuvent être exprimés en langage courant.
Par exemple, "+" est universellement reconnu comme le symbole de l'addition. Cette opération, qui consiste à mettre ensemble deux "paquets" d'objets similaire, signifie quelque chose de très concret.
Or, il arrive que dans une preuve la manipulation de symboles prenne le dessus sur la signification des calculs effectués. Pour moi, la preuve perd alors toute élégance et le théorème qu'elle démontre perd de son intérêt. Un résultat qu'on ne peut expliquer en mots n'est pas un résultat qui est devenu suffisamment mature pour mériter une grande attention.
Ce qui fait la beauté de certains résultats (le théorème de Pythagore, pour citer un exemple connu), c'est le fait que leur formulation en langage courant est "facile", et que la preuve s'appuie sur des idées que l'on peut décrire avec des mots, sans avoir recours à des formules.
Les symboles et les calculs ont évidemment une utilité. Ils servent à simplifier certaines étapes du raisonnement et à obtenir des résultats précis. Néanmoins, ils ne doivent jamais prendre le dessus sur le sens de la preuve.
Les idées sont plus importantes que les calculs. Et, étrangement, il est beaucoup plus difficile de formuler des idées que d'effectuer des calculs.
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