Et voici les instruments essentiels à la tâche du mathématicien :
mardi 30 septembre 2008
L'antre de la bête
Dans un élan d'exhibitionnisme, je vous montre ici mon milieu de travail. On constate la grande organisation qui règne sur mon bureau...
Et voici les instruments essentiels à la tâche du mathématicien :
Et voici les instruments essentiels à la tâche du mathématicien :
mardi 23 septembre 2008
Manipuler des symboles
Les mathématiques sont percues par beaucoup de gens, dont plusieurs mathématiciens, comme étant un ensemble de règles qui dictent comment manipuler des symboles. En manipulant ces symboles, on arrive à formuler les "phrases" mathématiques que sont les théorèmes. Bien sûr, la plupart du temps, des significations sont données à ces symboles et les théorèmes peuvent être exprimés en langage courant.
Par exemple, "+" est universellement reconnu comme le symbole de l'addition. Cette opération, qui consiste à mettre ensemble deux "paquets" d'objets similaire, signifie quelque chose de très concret.
Or, il arrive que dans une preuve la manipulation de symboles prenne le dessus sur la signification des calculs effectués. Pour moi, la preuve perd alors toute élégance et le théorème qu'elle démontre perd de son intérêt. Un résultat qu'on ne peut expliquer en mots n'est pas un résultat qui est devenu suffisamment mature pour mériter une grande attention.
Ce qui fait la beauté de certains résultats (le théorème de Pythagore, pour citer un exemple connu), c'est le fait que leur formulation en langage courant est "facile", et que la preuve s'appuie sur des idées que l'on peut décrire avec des mots, sans avoir recours à des formules.
Les symboles et les calculs ont évidemment une utilité. Ils servent à simplifier certaines étapes du raisonnement et à obtenir des résultats précis. Néanmoins, ils ne doivent jamais prendre le dessus sur le sens de la preuve.
Les idées sont plus importantes que les calculs. Et, étrangement, il est beaucoup plus difficile de formuler des idées que d'effectuer des calculs.
Par exemple, "+" est universellement reconnu comme le symbole de l'addition. Cette opération, qui consiste à mettre ensemble deux "paquets" d'objets similaire, signifie quelque chose de très concret.
Or, il arrive que dans une preuve la manipulation de symboles prenne le dessus sur la signification des calculs effectués. Pour moi, la preuve perd alors toute élégance et le théorème qu'elle démontre perd de son intérêt. Un résultat qu'on ne peut expliquer en mots n'est pas un résultat qui est devenu suffisamment mature pour mériter une grande attention.
Ce qui fait la beauté de certains résultats (le théorème de Pythagore, pour citer un exemple connu), c'est le fait que leur formulation en langage courant est "facile", et que la preuve s'appuie sur des idées que l'on peut décrire avec des mots, sans avoir recours à des formules.
Les symboles et les calculs ont évidemment une utilité. Ils servent à simplifier certaines étapes du raisonnement et à obtenir des résultats précis. Néanmoins, ils ne doivent jamais prendre le dessus sur le sens de la preuve.
Les idées sont plus importantes que les calculs. Et, étrangement, il est beaucoup plus difficile de formuler des idées que d'effectuer des calculs.
vendredi 12 septembre 2008
Triangulations créatives
On peut représenter les objets tridimensionnels par des triangles collés les uns aux autres de telle sorte qu'ils épousent les formes de l'objet. On appelle une telle construction une triangulation. Une fois qu'on a obtenu une triangulation, on peut la raffiner en divisant les triangles en triangles plus petits. Cet article présentera des méthodes de raffinement qui, lorsqu'on représente graphiquement les triangles qu'elles produisent, génèrent des dessins dont la beauté surprend.
mercredi 10 septembre 2008
Le LHC démarre !
Une grande nouvelle pour les physiciens et les curieux qui s'interrogent sur la nature de l'univers. Le Large Hadron Collider (LHC, grand collisioneur de proton en français), le plus grand accélérateur de particule construit par l'homme, a été mis en route aujourd'hui. Sa mise en marche a été retardée à quelques reprises, mais finalement, nous y sommes.
Le LHC est un immense complexe dont la composante principale est un tube de 27km de circonférence dans lequel voyageront deux faisceaux de protons. Pour l'instant, un seul faisceau a été injecté dans l'accélérateur, le deuxième le sera dans quelques semaines. Ces faisceaux entreront en collision à quatre endroits prédéterminés autour du tube où des détecteurs gigantesques recueilleront des données sur les résultats des collisions. Par exemple, ATLAS, un des détecteurs, pèse 7000 tonnes, mesure 25 mètres de haut et 45 mètres de long.
L'étude de ces collisions à haute énergie (14 TeV) permettra de rechercher des preuves expérimentales de l'existence du boson de Higgs (la particule qui est sensé donner une masse à toutes les autres), de dimensions supplémentaires (qui sont requises par la théorie des supercordes, par exemple) et de la supersymétrie. De plus, LHC permettra de mieux comprendre les différences entre la matière et l'antimatière (entre autre, pourquoi y a-t-il plus de matière que d'antimatière) et peut-être même d'élucider le mystère de la matière sombre.
Le LHC est une des plus grandes réalisations technique de l'être humain. Les protons voyageront à une vitesse proche de celle de la lumière grâce à un système complexe d'aimants refroidi à des températures proche du zéro absolu (1,9K). La quantité de données générées par les quatre détecteurs atteindra 15 millions de gigaoctets qui devront être analysés, filtrés et stockés, ce qui nécessitera des ordinateurs parmi les plus puissants du monde.
Plus de détails sur
Le LHC est un immense complexe dont la composante principale est un tube de 27km de circonférence dans lequel voyageront deux faisceaux de protons. Pour l'instant, un seul faisceau a été injecté dans l'accélérateur, le deuxième le sera dans quelques semaines. Ces faisceaux entreront en collision à quatre endroits prédéterminés autour du tube où des détecteurs gigantesques recueilleront des données sur les résultats des collisions. Par exemple, ATLAS, un des détecteurs, pèse 7000 tonnes, mesure 25 mètres de haut et 45 mètres de long.
L'étude de ces collisions à haute énergie (14 TeV) permettra de rechercher des preuves expérimentales de l'existence du boson de Higgs (la particule qui est sensé donner une masse à toutes les autres), de dimensions supplémentaires (qui sont requises par la théorie des supercordes, par exemple) et de la supersymétrie. De plus, LHC permettra de mieux comprendre les différences entre la matière et l'antimatière (entre autre, pourquoi y a-t-il plus de matière que d'antimatière) et peut-être même d'élucider le mystère de la matière sombre.
Le LHC est une des plus grandes réalisations technique de l'être humain. Les protons voyageront à une vitesse proche de celle de la lumière grâce à un système complexe d'aimants refroidi à des températures proche du zéro absolu (1,9K). La quantité de données générées par les quatre détecteurs atteindra 15 millions de gigaoctets qui devront être analysés, filtrés et stockés, ce qui nécessitera des ordinateurs parmi les plus puissants du monde.
Plus de détails sur
- la nouvelle : Radio-Canada.ca, Cyberpresse
- le LHC : CERN, the LHC rap
dimanche 7 septembre 2008
Le dilemme du prisonnier
Le "jeu", au sens de la théorie des jeux, le plus connu est sans conteste le dilemme du prisonnier. Deux suspects sont arrêtés relativement à un crime donné. Ils sont interrogés séparément et ne peuvent communiquer d'aucune façon que ce soit. Ils connaissent tous deux les règles : lors de son interrogatoire, le suspect peut accuser l'autre suspect et bénéficier d'une peine moindre pour avoir collaboré avec la police, ou prétendre qu'ils sont tous les deux innocents. Si les deux suspects s'accusent mutuellement, ils purgeront tous les deux une peine de 9 ans. Si un des suspects accuse son collègue et l'autre affirme son innocence, le premier n'ira pas en prison et le second purgera 10 ans. Enfin, si les deux affirment leur innocence, ils purgeront tous deux 1 ans pour infraction mineure.
Quelle est la stratégie gagnante pour chaque prisonnier ? Le prisonnier 1 doit choisir entre accuser (A) et innocenter (I). Supposons que le prisonnier 2 choisisse I, alors, 1 a le choix entre purger 1 an s'il choisi I, ou rien du tout s'il choisi A. Donc sa stratégie gagnante dans ce cas est A. Si le prisonnier 2 a choisi A, 1 a le choix entre purger 10 ans s'il choisi I ou 9 ans s'il choisi A. Encore une fois, la stratégie gagnante est A.
Puisque 1 n'a aucune façon de savoir la réponse de 2, et que dans tous les cas il s'en sort avec une peine moindre s'il choisi A, c'est définitivement sa meilleure option. Le raisonnement est identique pour le prisonnier 2. Alors, il semble que le seul résultat sensé pour ce jeu soit que les deux prisonniers s'accusent mutuellement et purgent chacun 9 ans. Cette solution est appelée un point d'équilibre de Nash pour ce jeu.
Un point d'équilibre de Nash est un choix de stratégie pour chaque joueur tel que si un joueur décide de changer sa stratégie, il aura une peine plus grande. Le nom viens du mathématicien John Forbes Nash, prix Nobel d'économie 1994, dont l'histoire romancée est décrite dans le film "A beautiful mind".
Revenons au dilemme des prisonniers. L'équilibre de Nash pour ce jeu fait en sorte que chaque prisonnier purge un grand nombre d'années en prison. Il existe pourtant une solution à ce jeu qui est beaucoup plus avantageuse "socialement". Si les deux innocentent leur collègue, ils ne purgeront qu'un an chacun. La collaboration, dans ce contexte, est une bien meilleure option que l'avarice.
Quelle est la stratégie gagnante pour chaque prisonnier ? Le prisonnier 1 doit choisir entre accuser (A) et innocenter (I). Supposons que le prisonnier 2 choisisse I, alors, 1 a le choix entre purger 1 an s'il choisi I, ou rien du tout s'il choisi A. Donc sa stratégie gagnante dans ce cas est A. Si le prisonnier 2 a choisi A, 1 a le choix entre purger 10 ans s'il choisi I ou 9 ans s'il choisi A. Encore une fois, la stratégie gagnante est A.
Puisque 1 n'a aucune façon de savoir la réponse de 2, et que dans tous les cas il s'en sort avec une peine moindre s'il choisi A, c'est définitivement sa meilleure option. Le raisonnement est identique pour le prisonnier 2. Alors, il semble que le seul résultat sensé pour ce jeu soit que les deux prisonniers s'accusent mutuellement et purgent chacun 9 ans. Cette solution est appelée un point d'équilibre de Nash pour ce jeu.
Un point d'équilibre de Nash est un choix de stratégie pour chaque joueur tel que si un joueur décide de changer sa stratégie, il aura une peine plus grande. Le nom viens du mathématicien John Forbes Nash, prix Nobel d'économie 1994, dont l'histoire romancée est décrite dans le film "A beautiful mind".
Revenons au dilemme des prisonniers. L'équilibre de Nash pour ce jeu fait en sorte que chaque prisonnier purge un grand nombre d'années en prison. Il existe pourtant une solution à ce jeu qui est beaucoup plus avantageuse "socialement". Si les deux innocentent leur collègue, ils ne purgeront qu'un an chacun. La collaboration, dans ce contexte, est une bien meilleure option que l'avarice.
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